A representação de dimensão de uma álgebra de Artin

A dimensão de representação de uma álgebra foi introduzida por Maurice Auslander nos anos 70 do século passado com o objetivo de medir o quão longe uma álgebra está de ser de tipo de representação finito [A]. Lembramos que uma álgebra A é de tipo de representação finito se existir apenas um número finito de A-módulos finitamente gerados indecomponíveis dois a dois não isomorfos. No entanto, passaram-se mais de 25 anos antes que tal conceito fosse considerado significativo na Teoria de Representações de Álgebras, pois só a partir dos meados da década de 90 surgiram os primeiros resultados relacionando-os com outras técnicas da área. Nosso objetivo aqui é dar uma breve introdução aos resultados importantes decorrentes do desenvolvimento desta noção até chegar a dois resultados recentes em que estivemos diretamente envolvidos. Iremos mostrar como se comporta a representação de dimensão nas seguintes classes de álgebras: (i) álgebras tilted iteradas, trabalho conjunto com D. Happel e L. Unger [CHU]; e (ii) álgebras fortemente simplesmente conexas de crescimento polinomial, trabalho conjunto com I. Assem e S. Trepode [ACT]. Referências: •[A] M. Auslander, Representation dimension of artin algebras, Math. Notes, Queen Mary College, London (1971). •[ACT] I. Assem, F. U. Coelho, and S. Trepode, The representation dimension of a class of tame algebras, Preprint, 2010. •[CHU] F. U. Coelho, D. Happel, and L. Unger, Auslander generators for iterated tilted algebras, Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), 1587-1593.