Espaço das variáveis: onde estatística e geometria se casam. O caso das distâncias de Mahalanobis.

A forma usual de conceptualizar a representação gráfica duma matriz $X_{n\times p}$ de dados de indivíduos $\times$ variáveis consiste em associar um eixo a cada variável e nesse referencial cartesiano representar cada individuo por um ponto, cujas coordenadas são dadas pela linha de $X$ correspondente ao individuo. A popularidade desta representação no espaço dos individuos ($\mathbb{R}^p$) resulta, em grande medida, do facto de ser visualizável para dados bivariados ou tri-variados. No entanto, para um número maior de variáveis ($p \gt 3$) essa vantagem deixa de existir.

Uma representação alternativa é importante na análise e modelação dos dados. No espaço das variáveis, cada eixo corresponde a um individuo e cada variável é representada por um vector a partir da origem, definido pelas $n$ coordenadas da respectiva coluna matricial. Esta representação das variáveis em $\mathbb{R}^n$ tem a enorme vantagem de casar conceitos estatísticos e conceitos geométricos, permitindo uma melhor compreensão dos primeiros. Tem raízes sólidas na escola francesa de análise de dados, mas o seu potencial nem sempre é explorado.

Nesta comunicação começa-se por relembrar os conceitos geométricos correspondentes a indicadores fundamentais da estatística univariada e bivariada (média, desvio padrão, coeficiente de variação ou coeficiente de correlação) ou multivariada (exemplificando com o caso da análise em componentes principais). Aprofunda-se a discussão no contexto de regressões lineares múltiplas, cujos conceitos fundamentais (coeficiente de determinação, as três somas de quadrados e a sua relação fundamental) têm interpretação geométrica no espaço das variáveis.

Seguidamente, discute-se a utilidade desta representação geométrica no estudo das distâncias de Mahalanobis, que desempenham um papel de primeiro plano na estatística multivariada. Mostra-se como as distâncias (ao quadrado) de Mahalanobis medem a inclinação do subespaço de $\mathbb{R}^n$ gerado pelas colunas da matriz centrada dos dados, o subespaço $\mathcal{C}(X_c)$, em relação ao sistema de eixos. Em particular, mostra-se como as distâncias de Mahalanobis ao centro, \[D^2_{x_i,\overline{x}}=(x_i-\overline{x})^t \S^{-1} (x_i-\overline{x}),\] são apenas função de $n$ e do ângulo $\theta_i$ entre o eixo correspondente ao indivíduo $i$ e $\mathcal{C}(X_c)$, enquanto que a distância (ao quadrado) de Mahalanobis entre dois individuos, \[D^2_{x_i,x_j}=(x_i-x_j)^t \S^{-1} (x_i-x_j),\] é também função apenas de $n$ e do ângulo entre $\mathcal{C}(X_c)$ e a bissectriz gerada por $e_i-e_j$, sendo $e_i$ e $e_j$ os vectores canónicos de $\mathbb{R}^n$ associados aos dois individuos. Algumas recentes majorações e outras propriedades importantes destas distâncias (Gath & Hayes, 2006 e Branco & Pires, 2011) são expressão directa destas relações geométricas. Apesar das distâncias de Mahalanobis dizerem respeito aos individuos, os conceitos geométricos que lhes estão associados no espaço das variáveis podem ser explorados para aprofundar e estender esses resultados.