O semigrupo profinito livre: estrutura e dinâmica

Uma álgebra profinita é uma álgebra compacta residualmente finita. Os elementos de uma álgebra profinita relativamente livre podem ser vistos de forma natural como operações, ditas implícitas, dependendo de várias variáveis. Passando a uma dimensão superior, obtemos transformações de um espaço compacto cujas componentes são as referidas operações implícitas. A composição iterada (infinita) destes operadores gera por sua vez novas operações implícitas. O objectivo deste trabalho é explorar sistemas dinâmicos topológicos deste tipo para investigar propriedades estruturais dos semigrupos profinitos livres, nomeadamente dos seus subgrupos profinitos livres. Parâmetros como complexidade e entropia das componentes de uma transformação fornecem invariantes relevantes neste estudo. Por exemplo: a complexidade de subgrupos profinitos livres de característica maior que 1 é pelo menos n+1; as operações implícitas de entropia máxima são exactamente aquelas que pertencem ao ideal minimal e parece natural conjecturar que, para característica maior que 1, a iteração não aumenta a entropia, donde resultará que por iteração só é possível atingir o ideal minimal se dele partirmos. No outro extremo, quando consideramos operações não essencialmente periódicas de complexidade mínima, a teoria das palavras de Sturm permite obter alguns resultados sobre este tipo de operações.