Extensões próprias de semigrupos fracamente amplos à esquerda

Um semigrupo S diz-se uma extensão idempotente pura de um semigrupo T se existe um morfismo sobrejectivo f de S sobre T tal que: (*) af pertence a E(T) se e só se a pertence a E(S). Se S e T são semigrupos inversos, a condição (*) é equivalente a dizer que f é injectivo em qualquer R-classe. Por exemplo, um semigrupo inverso é E-unitário se e só se é extensão idempotente pura de um grupo. Os semigrupos inversos que são extensões idempotentes puras de semigrupos inversos foram estudados por diversos autores nomeadamente por o'Carroll, Billhardt e Gomes/Szendrei. Os semigrupos fracamente amplos à esquerda (f.a.e.) constituem uma quasivariedade de álgebras de tipo (2,1), que inclui a classe dos semigrupos inversos. Um semigrupo f.a.e. S diz-se uma extensão idempotente pura de um semigrupo f.a.e. T se existe um (2,1)-morfismo sobrejectivo f de S sobre T que verifique a condição (*). Neste caso, f pode não ser injectivo nas R~-classes de S mas a recíproca é verdadeira. Chamamos extensões próprias àquelas que estão associadas a (2,1)-morfismos injectivos nas R~-classes. Usando semigrupóides, sobre os quais actuam semigrupos f.a.e., é possível provar que todo o semigrupo f.a.e. S que é extensão própria de um semigrupo f.a.e. T é (2,1)-mergulhável num certo tipo de produto semidirecto de um semi-reticulado por T. Deste facto, resultam as caracterizações de O'Carroll para semigrupos inversos e de Billhardt para semigrupos amplos à esquerda.