A ordem natural em semigrupos de transformações

No estudo de semigrupos algébricos, considerações teóricas de ordem são, de um modo geral, bastante úteis desde que a relação de ordem esteja definida em função da multiplicação do semigrupo. Uma tal ordem, dita natural, foi estabelecida em 1952, por V. Vagner, para a classe dos semigrupos inversos. Em 1980, K. Nambooripad e R. Hartwig estenderam, independentemente, este conceito para a classe, bem mais vasta, dos semigrupos regulares (i.e., semigrupos S nos quais, para cada elemento a de S, existe um elemento b em S tal que a = a b a): a ≤ b se e só se a = eb = bf, para certos idempotentes e, f de S. Neste seminário faremos o estudo do semigrupo regular (P(X), o) das transformações parciais de um conjunto X, com respeito à ordem natural: apresentaremos uma caracterização da ordem natural em função do núcleo e da imagem de uma transformação, identificaremos elementos especiais, como os elementos maximais e os elementos minimais, e consideraremos algumas questões de compatibilidade da ordem natural.