Comparação das propriedades de minimização dos métodos CG e GMRES

Os métodos iterativos mais recomendados hoje em dia para a resolução de grandes sistemas, pela sua rapidez, e convergência em grande número de casos, são os métodos baseados em subespaços de Krylov. Todos eles podem ser enquadrados em três grupos de acordo com as propriedades de minimização que se impõem.

A ideia base deste tipo de métodos é procurar uma solução aproximada para o sistema $A x = b$ num subespaço de Krylov afim $x_0 + K_m(A,r_0) = \left\{v: v=x_0 + \sum_{i=0}^{m-1} c_i A^i r_0\right\}$, sendo $K_m(A, r_0)$ gerado por $(r_0, A r_0 ,\dots, A^{m-1} r_0 )$, onde $r_0$ é o resíduo de uma solução inicial $x_0$ dada.

No caso do método do Gradiente Conjugado (CG), que também se pode relacionar com o método da descida mais rápida, no subespaço $K_m(A,r_0)$ resolve-se um problema de minimização da norma-$A$ do erro $x_m-x^\ast)^T A(x_m-x^\ast))^{1/2}$. Isto é equivalente a impor que o resíduo de $x_m$ seja ortogonal a qualquer vector de $K_m$.

No caso não simétrico, podem considerar-se vários métodos, entre os quais o mais robusto é o método GMRES, Generalized Minimum RESidual. Este resolve, no subespaço de menor dimensão, um problema de minimização da norma-$2$ do resíduo.