Módulos de Verma e as conjecturas de Kazhdan-Lusztig

Uma das principais questões em teoria de representações de álgebras de Lie semisimples (ou equivalentemente das suas álgebras envolventes) é a de determinar todos os seus módulos simples. Essa questão está resolvida para SL(2,C) mas não para SL(2,C) se n > 2. Nestes casos alguns módulos simples aparecem "em famílias" sendo uma das mais significativas a dos módulos de Verma simples. Sabe-se também que qualquer módulo de Verma (não necessariamente simples) admite série de composição constituída por módulos de Verma simples. Uma das mais profícuas questões nas últimas três décadas tem sido a de determinar as respectivas multiplicidades. Nesse sentido aparecem as conjecturas de Kazhdan-Lusztig provadas em 1981 (embora através de ferramentas puramente analíticas).