Radical e Socle de álgebras não unitárias

No seu conhecido livro "Structure of rings" (A. M. S. (1956)), N. Jacobson introduziu o conceito de radical de um anel A (que ficaria conhecido como "radical de Jacobson", e seria denotado J=J(A) ), como sendo o "kernel de I em que I é o conjunto dos A-módulos irredutíveis" (cf. Def. 2, pg. 4), ou seja, a intersecção dos anuladores dos A-módulos simples direitos (ou esquerdos). Mais tarde foi introduzida a noção de radical (de Jacobson) de um A-módulo esquerdo (resp. direito) M, J(M), como a intersecção dos submódulos N de M tais que M/N é simples. Podemos assim falar do radical esquerdo Jl e do radical direito Jr de A, que são ideais bilaterais de A, contidos em J. Se A tiver identidade, tem-se Jl=Jr=J, mas esta igualdade não é válida em geral. De maneira semelhante, é possível definir socle esquerdo Sl e direito Sr de A.Estabeleceremos relações entre J, Jl, Jr, Sl e Sr, e para álgebras artinianas, obteremos expressões para Jl, Jr, Sl e Sr.