Semigrupos e grafos de quase permutação

Os semigrupos de transformações desempenham um papel fulcral na teoria de semigrupos. Com efeito todo o semigrupo pode ser mergulhado num semigrupo de transformações sobre um determinado conjunto X. Por outro lado sabe-se que o número de elementos dos semigrupos de transformações sobre um conjunto X cresce exponencialmente com o cardinal de X. Torna-se então importante saber analisar a estrutura de um semigrupo simplesmente pela análise dos seus geradores. Um semigrupo de quase permutação S=<G,U> é um subsemigrupo do semigrupo das transformações totais T(X), onde X é um conjunto finito com N elementos, G é um grupo de permutações sobre X e U é um conjunto de transformações sobre X de rank N-1. Em 1996 McAlister provou que o semigrupo <G,e>, onde G é um grupo de permutações sobre um conjunto com N elementos e o elemento e é um idempotente de rank N-1, é regular. Ao tentar generalizar esse resultado a semigrupos da forma <G,H>, sendo H um grupo contendo o elemento e, verificou-se que estes nem sempre são regulares e que o seu estudo está dependente em larga medida do estudo dos semigrupos de quase permutação da forma S=<G,U>. Apresentaremos alguns resultados relacionados com a estrutura dos semigrupos de quase permutação, alguns deles com base em grafos construídos à custa dos geradores dos semigrupos de quase permutação.