Princípios de Análise Fraca

A formalização da matemática em sistemas aritméticos de segunda-ordem tem uma história longa e distinta. Pode dizer-se que remonta a Richard Dedekind e que foi objecto da atenção de, entre outros, Hermann Weyl, David Hilbert, Paul Bernays, Harvey Friedman e Stephen Simpson e seus estudantes. Esta tradição vem tratada e sumariada no recente livro de Stephen Simpson Subsystems of Second-Order Arithmetic, Springer-Verlag (1999). Há cerca de década e meia, numa dissertação de doutoramento apresentada na Universidade de Princeton (Bounded Arithmetic, Bibliopolis, Napoles, 1986), Samuel Buss desenvolveu sistemas de aritmética relacionados com classes notáveis da complexidade computacional, e.g, com a classe das funções computáveis em tempo polinomial. A Análise Fraca encontra-se na confluência destas duas tradições, pois trata de desenvolver e estudar formalizações da análise em sistemas muito fracos de segunda-ordem e que, por conseguinte, dão um significado computacional (ainda que indirecto) aos teoremas neles demonstrados. Estuda também a meta-matemática de alguns princípios que, prima facie, não são sequer construtivos. Neste seminário pretende-se dar uma panorâmica geral destes assuntos. Abordar-se-á também a seguinte consequência interessante do estudo da Análise Fraca: a teoria dos corpos ordenados fechados é interpretável na teoria de Robinson Q.