Mansidão e cálculo de supremos de pseudovariedades de semigrupos

Uma pseudovariedade de semigrupos é uma classe de semigrupos finitos fechada para subsemigrupos, imagens homomorfas e produtos directos finitos. Esta noção foi introduzida por Eilenberg em 1976, quando estabeleceu uma correspondência bijectiva entre pseudovariedades e certas classes (variedades) de linguagens racionais. Devido em grande parte a este teorema das variedades de Eilenberg e ao problema do cálculo da complexidade de um semigrupo (que teve a sua origem num resultado de Krohn e Rhodes de 1965) e que está ainda por resolver, uma das questões centrais da teoria de semigrupos finitos é o problema da pertença. Este problema é o de decidir, dados um semigrupo finito S e uma pseudovariedade V, se S pertence a V. Dado que as pseudovariedades são frequentemente definidas pela aplicação a outras pseudovariedades de algum operador determinado por geradores, e sabendo-se que alguns dos operadores mais úteis como o supremo, o produto semidirecto e o producto de Mal'cev não preservam a decidibilidade, procurou-se obter propriedades mais finas para os argumentos de tais operadores que garantissem a decibilidade dos seus valores. Com esse objectivo, Almeida e Steinberg introduziram em 1997 a noção de mansidão de uma pseudovariedade. Recorde-se que o supremo VvW de duas pseudovariedades V e W é a mais pequena pseudovariedade que contém V e W. Neste seminário será abordado o problema de mostrar a mansidão de VvW no caso de W ser mansa. Este problema será considerado para certas pseudovariedades V contidas na pseudovariedade R dos semigrupos {\cal R}-triviais, onde {\cal R} é uma das relações de Green. Um dos resultados descritos, obtido em colaboração com Almeida e Zeitoun, é o da mansidão de RvW em que W é uma subpseudovariedade da pseudovariedade dos semigrupos completamente regulares. Em particular isto prova a decidibilidade de RvG, onde G é a pseudovariedade dos grupos.